Формула Ньютона Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница — одна из основных формул математического анализа, если точнее, одного из его разделов — анализа бесконечно малых чисел. В современной формулировке она излагается следующим образом:

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и если F есть функция, производная которой равна f на интервале (a, b), то:

Кроме того, для любого x из интервала (a, b)

Прямым и вытекающим из определения формулы действием является вычисление определенного интеграла, а наиболее простым практическим применением — нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=(х), осью координат y=0 и прямыми x=a, x=b. Изучение этих методов входит уже в программу математики старших классов школы.
Данную формулу часто называют также фундаментальной теоремой математического анализа (fundamental theorem of calculus), так как она устанавливает связь между понятиями производной и первообразной математических функций и доказывает взаимную обратность операций дифференциального и интегрального исчислений.

Благодаря этой формуле теория математического анализа получила универсальную систему исчисления с четкими правилами и неограниченным возможностями, нашла применение в решении множества теоретических и прикладных задач физики, механики, информатики, статистики, экономики и финансов — в общем, везде, где для решения задачи требуется построение математической модели.

Теорема носит имена двух выдающихся ученых 17 века — Исаака Ньютона (1642–1727) и Готфрида Лейбница (1646—1716), каждый из которых оставил значительный след в истории развития физики и математики, механики и астрономии. Теорией бесконечно малых чисел оба ученых занимались примерно в одни годы, работая независимо друг от друга.

Считается, что первым разработал системную теорию дифференциального и интегрального исчисления Ньютон. Его вариант теории был готов уже в 1670—1680 годах, но по каким-то причинам не публиковался, хотя ученый делился им в переписке со многими коллегами, в том числе с Лейбницем. Теория Лейбница стала широко известна в научных кругах с 1676 года, в 1684 году вышел посвященный дифференциальному исчислению труд ученого «Новый метод максимумов и минимумов». Что касается Ньютона, то его теория в первом изложении вышла лишь в 1693 году, полностью была опубликованна в 1704 г. в работе «О квадратуре кривых».
В дальнейшем потребовалось еще более 100 лет и усилия целого ряда ученых, чтобы формула Ньютона — Лейбница по своей терминологии и символике приняла современный вид.